题目内容
【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程和函数
的极值:
(2)若对任意,都有
成立,求实数
的最小值.
【答案】(1)切线方程为,函数
在
时,取得极小值
(2)1
【解析】
试题分析:(1)根据导数几何意义得曲线在
处的切线斜率等于
,再根据
,利用点斜式可得切线方程为
,求函数极值,首先求导函数零点:
,列表分析导函数符号变化规律,确定函数极值(2)不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题:
,再根据函数定义域讨论函数最值取法:
若,
;
若,
试题解析:(1)因为,所以
,
因为,所以曲线
在
处的切线方程为
..........3分
由解得
,则
及
的变化情况如下:
2 | |||
0 | |||
递减 | 极小值 | 递增 |
所以函数在
时,取得极小值
....................6分
(2)由题设知:当时,
,当
时,
,
若,令
,则
,
由于,显然不符合题设要求...9分
若,对
,
由于,
显然,当,对
,不等式
恒成立,
综上可知,的最小值为1.........................................12分
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