题目内容
(本小题满分10分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设=(n∈N*),=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数t,使得任意的n均有总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设=(n∈N*),=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数t,使得任意的n均有总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由
解:(Ⅰ)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2, ……………… 2 分
整理得2a1d=d2.
∵a1=1,解得(d=0舍),d=2. ………………………………………… 4 分
∴an=2n-1(n∈N*). …………………………………………………… 5 分
(Ⅱ)bn===(-),
∴Sn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]
=(1-)=. …………………………………… 8 分
假设存在整数t满足Sn>总成立.
又Sn+1-Sn=-=>0,
∴数列{Sn}是单调递增的.
∴S1=为Sn的最小值,故<,即t<9.
∵t∈N*,
∴适合条件的t的最大值为8. ……………………………… 10分
整理得2a1d=d2.
∵a1=1,解得(d=0舍),d=2. ………………………………………… 4 分
∴an=2n-1(n∈N*). …………………………………………………… 5 分
(Ⅱ)bn===(-),
∴Sn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]
=(1-)=. …………………………………… 8 分
假设存在整数t满足Sn>总成立.
又Sn+1-Sn=-=>0,
∴数列{Sn}是单调递增的.
∴S1=为Sn的最小值,故<,即t<9.
∵t∈N*,
∴适合条件的t的最大值为8. ……………………………… 10分
略
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