题目内容

如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点F,与抛物线交于两点A,B,

(1)若|AB|=8,求抛物线的方程;
(2)设C为抛物线弧AB上的动点(不包括A,B两点),求的面积S的最大值;
(3)设P是抛物线上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交抛物线的准线于M,N两点,证明M,N两点的纵坐标之积为定值(仅与p有关)

(1)(2)(3),设
直线PA的方程

解析试题分析:设
(1)由条件知直线消去y,得………1分
由题意,判别式由韦达定理,
由抛物线的定义,从而所求抛物的方程为………3分
(2)设。由(1)易求得
,点C到直线的距离
将原点O(0,0)的坐标代入直线的左边,得
而点C与原点O们于直线的同侧,由线性规划的知识知
因此……6分由(1),|AB|=4p。

知当…8分
(3)由(2),易得
代入直线PA的方程
同理直线PB的方程为
代入直线PA,PB的方程得




考点:直线与椭圆相交求弦长,三角型面积
点评:本题(1)中应用焦点弦公式计算较简单,(2)(3)对于高二期末考试难度大,不建议采用

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