题目内容

如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B，

（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）设C为抛物线弧AB上的动点（不包括A，B两点），求的面积S的最大值；
（3）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）

（1）（2）（3），设
直线PA的方程，

解析试题分析：设
（1）由条件知直线由消去y，得………1分
由题意，判别式由韦达定理，
由抛物线的定义，从而所求抛物的方程为………3分
（2）设。由（1）易求得
则，点C到直线的距离
将原点O（0，0）的坐标代入直线的左边，得
而点C与原点O们于直线的同侧，由线性规划的知识知
因此……6分由（1），|AB|=4p。

由知当…8分
（3）由（2），易得设。
将代入直线PA的方程
得同理直线PB的方程为
将代入直线PA，PB的方程得




考点：直线与椭圆相交求弦长，三角型面积
点评：本题（1）中应用焦点弦公式计算较简单，（2）（3）对于高二期末考试难度大，不建议采用

练习册系列答案
相关题目

已知椭圆方程为，左、右焦点分别是，若椭圆上的点到的距离和等于．
（Ⅰ）写出椭圆的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点是椭圆的动点，求线段中点的轨迹方程；
（Ⅲ）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，若为锐角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

（本题满分12分）
已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点(1，)，离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)直线x＋y＋1＝0与椭圆E相交于A、B(B在A上方)两点，问是否存在直线l，使l与椭圆相交于C、D(C在D上方)两点且ABCD为平行四边形，若存在，求直线l的方程与平行四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

(本小题满分12分)设直线与直线交于点．
（1）当直线过点，且与直线垂直时，求直线的方程；
（2）当直线过点，且坐标原点到直线的距离为时，求直线的方程．

（本题12分）
已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切．
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)若的最大值为49，求椭圆C的方程．

(本小题满分12分)
（1）焦点在x轴上的椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
（2）已知双曲线的一条渐近线方程是，并经过点，求此双曲线的标准方程．

( 本小题满分12分)如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线。

求曲线的方程；
若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围。

（本题满分12分）
已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，椭圆短轴的端点和焦点组成的四边形为正方形，且.
(1)求椭圆方程；
(2)直线过点，且与椭圆相交于、不同的两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.

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