题目内容
已知椭圆
方程为
，左、右焦点分别是
，若椭圆上的点
到的距离和等于
．
（Ⅰ）写出椭圆的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点
是椭圆的动点，求线段
中点
的轨迹方程；
（Ⅲ）直线
过定点
，且与椭圆交于不同的两点
，若
为锐角（
为坐标原点），求直线的斜率
的取值范围．
（Ⅰ）椭圆
的方程
，焦点
（Ⅱ）
（Ⅲ）
解析试题分析：（Ⅰ）由题意得：
，
又点
椭圆上，∴
∴ 椭圆的方程，焦点． ……5分
（Ⅱ）设椭圆上的动点
，线段
中点
，
由题意得：
，
代入椭圆的方程得，
，
即为线段中点的轨迹方程． ……9分
（Ⅲ）由题意得直线的斜率存在且不为
，
设
代入整理，
得 
，
①
设
，∴ 
∵为锐角
，即
，
又 
．
∴ 
， ∴ 
． ②
由①、②得 
，∴的取值范围是． ……14分
考点：本小题注意考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等.
点评：圆锥曲线的综合问题一般离不开直线方程和圆锥曲线方程联立方程组，运算量较大，注意到联立得到直线方程后，不要忘记验证
.
练习册系列答案
相关题目
的离心率
，过点
和
的直线与原点的距离为
。⑴求椭圆的方程；⑵已知定点
，若直线
与椭圆交于
两点，问：是否存在
的值，使以
为直径的圆过
点？请说明理由。
，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为
与椭圆相交于
两点，且坐标原点
到直线
，
的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.
交于不同的两点A,B;O为坐标原点。
，试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为
？并说明理由；
，且a>b,
,试求曲线C的离心率e的取值范围。
的左右焦点分别为
，
，上顶点为
，过点
垂直的直线交
轴负半轴于
点，且
是
的中点．
的圆恰好与直线
相切，求椭圆
的方程；
作斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点，在
使得以
为邻边的平行四边形为菱形，如果存在，求出
的取值范围，如果不存在，说明理由。
轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1) 
平行于
，且与椭圆交于A、B两个不同点.
为钝角，求直线
轴上的截距m的取值范围；
的离心率为
，且过点
，
为其右焦点.
的方程； 
的直线
与椭圆相交于
、
两点（点
两点之间），若
与
的面积相等，试求直线
所围成的封闭图形的面积为
，曲线
的内切圆半径为
．记
为以曲线
是过椭圆
是线段
是
（
为坐标原点），当点
在椭圆
的面积的最小值．
的焦点F，与抛物线交于两点A，B，
的方程；
的面积S的最大值；