题目内容
7．下列函数①f（x）=x2（x＞0）；②f（x）=x3（x＞0）；③f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0）；④f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$（x＞0），其中对任意x1，x2∈（0，+∞），满足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]的函数序号是④．分析 对任意x1，x2∈（0，+∞），满足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]的函数恒成立，则函数在为（0，+∞）上凸函数，对四个函数进行分析，可得结论．
解答 解：对任意x1，x2∈（0，+∞），满足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]的函数恒成立，则函数在为（0，+∞）上凸函数，
①f（x）=x2（x＞0）下凹函数，不满足；
②f（x）=x3（x＞0）下凹函数，不满足；
③f（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0）；下凹函数，不满足；
④f（x）=x${\;}^{\frac{1}{3}}$（x＞0），满足条件．
故答案为：④．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，任意x1，x2∈（0，+∞），满足f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x1）+f（x2）]的函数恒成立，则函数在为（0，+∞）上凸函数是解题的关键．
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