Question

2．设命题p：存在x₀∈（-2，+∞），使得6+|x₀|=5．
命题q：对任意x∈（0，+∞），（$\frac{1}{x}$+x）（$\frac{4}{x}+x$）≥9恒成立．
（1）写出命题p的否定；
（2）判断命题非p，p或q，p且q的真假，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接写出命题的否定即可；（2）先判断出命题p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．

解答 解：（1）命题p：存在x₀∈（-2，+∞），使得6+|x₀|=5，
命题p的否定是：?x₀∈（-2，+∞），都有6+|x₀|≠5；
（2）由（1）得：命题￢p是真命题，
命题q：对任意x∈（0，+∞），
（$\frac{1}{x}$+x）（$\frac{4}{x}+x$）=5+$\frac{4}{{x}^{2}}$+x²≥5+2$\sqrt{\frac{4}{{x}^{2}}{•x}^{2}}$=9
当且仅当$\frac{4}{{x}^{2}}$=x²即x=$\sqrt{2}$时“=”成立，
故命题q是真命题；
∴p或q是真命题，p且q是假命题．

点评 本题考查了四种命题之间的关系，考查复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道中档题．