Question

16．已知函数f（x）=3^x+4^x，函数g（x）=5^x，试判断两函数图象的公共点个数及公共点的坐标．

Answer 1

分析 根据指数函数的性质，可得x=2是方程的解，再证明唯一解，即可．

解答 解：f（x）=g（x），
∴3^x+4^x=5^x，两边除5^x，
∴（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x=1
显然x=2时成立，
令m（x）=（$\frac{3}{5}$）^x，n（x）=（$\frac{4}{5}$）^x，
∵0＜$\frac{3}{5}$＜1，0＜$\frac{4}{5}$＜1，
∴m（x）和n（x）是减函数，
∴x＜2时，m（x）＞m（2），n（x）＞n（2），
∴x＜2时，（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x＞（$\frac{3}{5}$）²+（$\frac{4}{5}$）²=1，
同理，x＞2时，（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x＞（$\frac{3}{5}$）²+（$\frac{4}{5}$）²=1，
∴只有x=2时，（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x=1才成立，
即，（$\frac{3}{5}$）^x+（$\frac{4}{5}$）^x=1只有一个解，
∴f（x）=g（x）只有一个解，
∴公共点有1个，
当x=2，f（2）=g（2）=25，
∴公共点的坐标（2，25）．

点评 本题考查了指数函数的图象和性质，关键是证明方程的解唯一性，属于中档题．