题目内容
【题目】已知函数,且
.
(Ⅰ)若,过原点作曲线
的切线
,求直线
的方程;
(Ⅱ)若有
个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【解析】试题分析:(1)根据题意对函数求导,设出切点,将过原点的切线方程写出,从而解出切点坐标,代入切线方程即可;(2)有3个零点转化为
与
有三个不同的交点,眼界
的单调性,画出大致图像,得到交点个数,进而得到参数范围。
解析:
(Ⅰ)由可知
.又因
,故
.
所以.设切点
,切线斜率
,则切线方程
,由切线过
,
则,解得
或
,
当,切线
,切线方程
,
当,切点
,切线
,切线方程
,
直线的方程
或
.
(Ⅱ)若有3个零点转化为
与
有三个不同的交点,
,
令,解得
,
. 易知
为极大值
点,为极小值点. 则当
,
取极大值0,
当时,取极小值
. 结合函数图象可知
,所以
.
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