Question

【题目】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是线段EC的中点．

（1）求证：BM∥平面ADEF；

（2）求证：平面BDE⊥平面BEC；

（3）求平面BDM与平面ABF所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）取DE的中点N，连结MN，AN．运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；

（2）运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；

（3）以D为原点，DA，DC，DE为x，y，z轴，建立空间的直角坐标系，求得A，B，C，D，E，M的坐标，运用向量垂直的条件，求得平面BDM和平面ABF的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

（1）证明：取DE的中点N，连结MN，AN．

在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，

则MN∥CD且．

由已知AB∥CD，，

得MN∥AB，且MN=AB，四边形ABMN为平行四边形，BM∥AN，

因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF∴BM∥平面ADEF．

（2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．又平面ADEF⊥平面ABCD，

平面ADEF∩平面ABCD=AD，

∴ED⊥平面ABCD．∴ED⊥BC．

在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，

得．在△BCD中，，CD=4，

可得BC⊥BD．又ED∩BD=D，故BC⊥平面BDE．

又BC平面BEC，则平面BDE⊥平面BEC．

（3）解：如图，建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），

D（0，0，0），E（0，0，2）．

因为点M是线段EC的中点，

则M（0，2，1），，又．

设是平面BDM的法向量，

则，．

取x1=1，得y1=﹣1，z1=2，即得平面BDM的一个法向量为 ．

由题可知，是平面ABF的一个法向量．

设平面BDM与平面ABF所成锐二面角为θ，

因此，．