Question

【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l： （t为参数，0≤α＜π）．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求直线l的倾斜角及切点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，

∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，

∴曲线C是以C（2，0）为圆心，以r= 为半径的圆，

∴曲线C的参数方程为

（2）解：∵直线l： （t为参数，0≤α＜π）．

∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0．

∵直线l与曲线C相切，∴圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，

即d= =2cosα= ，∴cos ，

∵0≤α＜π，∴直线l的倾斜角α= ，

∴直线l的方程为 x﹣y﹣4 =0，

联立 ，得x= ，y=﹣ ，

∴切点坐标为（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（2，0）为圆心，以r= 为半径的圆，由此能求出曲线C的参数方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0．由直线l与曲线C相切，知圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，由此能求出结果．