题目内容
【题目】已知动点与点
的距离和它到直线
:
的距离的比是
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)已知定点,若
,
是轨迹
上两个不同动点,直线
,
的斜率分别为
,
,且
,试判断直线
的斜率是否为定值,并说明理由.
【答案】(1);(2)斜率为定值,该值为1.
【解析】
(1)由动点与点
的距离和它到直线
:
的距离的比是
,可得方程
,化简可得
的轨迹
的方程;
(2)设直线的斜率为
,则直线
的斜率为
,可得所以直线
的方程为
,直线
的方程为
. 设点
,
,由
,因为点
在椭圆
上,可得
的值,
的值,可得直线
的斜率
为定值.
解:(1)设是点
到直线
:
的距离,依题意可得,
点的轨迹就是集合:
,
由此得,
将上式两边平方,并化简得,
即点的轨迹方程是
.
(2)因为,
设直线的斜率为
,则直线
的斜率为
.
所以直线的方程为
,
直线的方程为
.
设点,
,由
,
得 (1)
因为点在椭圆
上,所以
是方程(1)的一个根,
则,所以
.
同理,所以
,
.
又,
所以直线的斜率
,
所以直线的斜率为定值,该值为1.
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