题目内容
【题目】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:
方案①:以为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;
方案②:以为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与
或
垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设的长为
dm,则当
为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)设所得圆柱的半径为,根据矩形薄铁皮的面积为100
,即可求得
的值;(2)设所得正四棱柱的底面边长为
,根据题意得
.方法一:表示出正四棱柱的体积
,构造函数,求得单调性,即可求得函数的最大值,从而得体积最大值及
的值;方法二:表示出
的范围,从而得到
的范围,再表示出正四棱柱的体积,即可求得最大值及
的值.
试题解析:(1)设所得圆柱的半径为,则
,
解得.
(2)设所得正四棱柱的底面边长为dm,则
即
方法一:
所得正四棱柱的体积
记函数则
在
上单调递增,在
上单调递减.
∴当时,
.
∴当,
时,
dm3.
方法二:
,从而
.
所得正四棱柱的体积.
∴当,
时,
dm3.
答:(1)圆柱的底面半径为dm;
(2)当为
时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.
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【题目】某校为了解高一实验班的数学成绩,采用抽样调查的方式,获取了位学生在第一学期末的数学成绩数据,样本统计结果如下表:
分组 | 频数 | 频率 |
合计 |
(1)求的值和实验班数学平均分的估计值;
(2)如果用分层抽样的方法从数学成绩小于分的学生中抽取
名学生,再从这
名学生中选
人,求至少有一个学生的数学成绩是在
的概率.