题目内容
【题目】已知椭圆
的焦距为
，且
，圆
与
轴交于点
，
，
为椭圆
上的动点，
，
面积最大值为
.
（1）求圆
与椭圆的方程；
（2）圆的切线
交椭圆于点
，
，求
的取值范围.
【答案】（1）圆
的方程为
，椭圆
的方程为
.；（2）
.
【解析】分析：(1)由题意结合几何关系得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得
，
，
.则圆的方程为，椭圆的方程为.
(2)①当直线
的斜率不存在时，计算可得
.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
利用圆心到直线的距离等于半径可得
，联立直线与椭圆方程可得
，由弦长公式有
.令
，换元后结合二次函数的性质可得
.则
的取值范围是.
详解：(1)因为
，所以
.①
因为
，所以点
为椭圆的焦点，所以
.
设
，则
，所以
.
当
时，
，②
由①，②解得，所以，.
所以圆的方程为，椭圆的方程为.
(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为
，解得
.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为
.
因为直线与圆相切，所以
，即，
联立
，消去
可得，
.
=
=
.
令，则
，所以=
，
所以=
，所以.
综上，的取值范围是.
【题目】（Ⅰ）如表所示是某市最近5年个人年平均收入表节选．求y关于x的回归直线方程，并估计第6年该市的个人年平均收入（保留三位有效数字）．
年份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收入y（千元） | 21 | 24 | 27 | 29 | 31 |
其中
，
，
附1：
= ，=﹣
（Ⅱ）下表是从调查某行业个人平均收入与接受专业培训时间关系得到2×2列联表：
受培时间一年以上 | 受培时间不足一年 | 总计 | |
收入不低于平均值 | 60 | 20 | |
收入低于平均值 | 10 | 20 | |
总计 | 100 |
完成上表，并回答：能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为“收入与接受培训时间有关系”．
附2：
P（K2≥k0） | 0.50 | 0.40 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附3：
K2=．（n=a+b+c+d）
【题目】保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y(单位：千元)有如下的统计资料：
距消防站距离x（千米） | 1.8 | 2.6 | 3.1 | 4.3 | 5.5 | 6.1 |
火灾损失费用y（千元） | 17.8 | 19.6 | 27.5 | 31.3 | 36.0 | 43.2 |
如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求：
（Ⅰ）求相关系数
（精确到0.01）；
（Ⅱ）求线性回归方程（精确到0.01）；
（III）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）.
参考数据：
，
，
，
，
，
参考公式：相关系数 
，回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
