题目内容

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45,点E、F分别为棱AB、PD的中点.

(1)求证:AF∥平面PCE;
(2)求三棱锥C-BEP的体积.

(1)详见解析;(2)三棱锥的体积为.

解析试题分析:(1)求证:∥平面,证明线面平行,首先证明线线平行,可用三角形的中位线平行,也可用平行四边形的对边平行,本题欲证∥平面,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行,取的中点,连接,易证,从而得∥平面;(2)求三棱锥的体积,三棱锥的体积可转化成三棱锥的体积,而底面,从而即为三棱锥的高,根据三棱锥的体积公式进行求解即可.
试题解析:(1)证明:取PC的中点G,连接GF,因为F为PD的中点,
所以,GF∥CD且又E为AB的中点,ABCD是正方形,
所以,AE∥CD且故AE∥GF且
所以,AEGF是平行四边形,故AF∥EG,而平面
平面,所以,AF∥平面.
(2)因为PA⊥底面ABCD,所以,PA是三棱锥P-EBC的高,PA⊥AD,PA=2,
∠PDA=450,所以,AD=2,正方形ABCD中,E为AB的中点,所以,EB=1,故的面积为1,故.
故三棱锥C-BEP的体积为.
考点:直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.

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