题目内容

8.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,过其左焦点且与其长轴垂直的椭圆C的弦长为1.
(1)求椭圆C的方程
(2)求与椭圆C交于两点且过点(0,$\sqrt{3}$)的直线l的斜率k的取值范围.

分析 (1)把x=-c代入椭圆方程解得$y=±\frac{{b}^{2}}{a}$,可得$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1.又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,a2=b2+c2,联立解得即可得出;
(2)设直线l的方程为y=kx+$\sqrt{3}$,与椭圆方程联立化为(1+4k2)x2+$8\sqrt{3}kx$+8=0,由于直线l与椭圆相交于两点,可得△>0,解出即可.

解答 解:(1)把x=-c代入椭圆方程可得:$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$,解得$y=±\frac{{b}^{2}}{a}$,∴$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1.
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,a2=b2+c2,联立解得a=2,b=1,c=$\sqrt{3}$.
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1.
(2)设直线l的方程为y=kx+$\sqrt{3}$,联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$,化为(1+4k2)x2+$8\sqrt{3}kx$+8=0,
∵直线l与椭圆相交于两点,∴△=$(8\sqrt{3}k)^{2}$-32(1+4k2)>0,
化为k2$>\frac{1}{2}$,
解得$k>\frac{\sqrt{2}}{2}$,或$k<-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴直线l的斜率k的取值范围是$(-∞,-\frac{\sqrt{2}}{2})$∪$(\frac{\sqrt{2}}{2},+∞)$.

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△>0等基础知识与基本技能,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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