Question

【题目】已知二次函数满足f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1，
（1）函数f（x）的解析式：
（2）函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值：
（3）若当x∈R时，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：f（x）为二次函数，设f（x）=ax2+bx+c，

∵f（0）=1，

∴c=1．

则f（x）=ax2+bx+1

又∵f（x+1）﹣f（x）=2x，

∴a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1=2ax+a+b，即2ax+a+b=2x，

由 ，解得：a=1，b=﹣1．

所以函数f（x）的解析式：f（x）=x2﹣x+1

（2）解：由（1）知 ，

根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴x= ，

∴当 时，f（x）有最小值 ，

当x=﹣1时，f（x）有最大值3

（3）解：对于任意x，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，即x2﹣x+1＞3x﹣a，

将可化为：a＞3x﹣x2+x﹣1，即a＞﹣x2+4x﹣1恒成立，

设g（x）=﹣x2+4x﹣1，x∈R，可知g（x）的最大值为3，

所以：a＞3

对于任意x，不等式f（x）＞3x﹣a恒成立，即x2﹣x+1＞3x﹣a，

将可化为：a＞3x﹣x2+x﹣1，即a＞﹣x2+4x﹣1恒成立，

设g（x）=﹣x2+4x﹣1，x∈R，可知g（x）的最大值为3，

所以：a＞3

【解析】（1）设函数f（x）的解析式，利用待定系数法求解．（2）利用二次函数的性质求解在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值：（3）分离参数法，将不等式转化为二次函数的问题求解．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．