题目内容

【题目】某农场预算用5600元购买单价为50元(每吨)的钾肥和20元(每吨)的氮肥,希望使两种肥料的总数量(吨)尽可能的多,但氮肥数不少于钾肥数,且不多于钾肥数的1.5倍.
(Ⅰ)设买钾肥x吨,买氮肥y吨,按题意列出约束条件、画出可行域,并求钾肥、氮肥各买多少才行?
(Ⅱ)已知A(10,0),O是坐标原点,P(x,y)在(Ⅰ)中的可行域内,求 的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)设肥料总数为z,z=x+y,
由题意得约束条件 ,即
画出可行域(如图)
目标函数:z=x+y,即y=﹣x+z,
表示斜率为﹣1,y轴上截距为z的平行直线系.
当直线过点N时,z最大.
联立方程 ,解得N(70,105)
此时zmax=x+y=70+105=175.
∴购买钾肥70吨,氮肥105吨时,两种肥料的总数量最大为175吨
(Ⅱ) ,θ为 的夹角,∴s=10cosθ.有图可知:
当点P在线段OM时,cosθ最大为 ,此时s最大值为
当点P在线段ON时,cosθ最小为 ,此时s最小值为

另解:
代入可得
【解析】(Ⅰ)设肥料总数为z,z=x+y,列出约束条件,画出可行域,利用目标函数的几何意义求解最值.(Ⅱ)利用向量的数量积,化简目标函数,通过可行域,判断s的最值即可.另解转化目标函数为直线的斜率,求解即可.

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