题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数有且只有一个零点,求实数
的值;
(2)证明:当时,
.
【答案】(1)1;(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)讨论函数的单调性可得满足题意时,解得
.
(2)结合(1)的结论不妨设,结合函数的性质即可证得题中的不等式.
试题解析:
(1)方法1: ,
,
时,
;
时,
;
时,
;
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴,∵
有且只有一个零点,
故,∴
.
方法2:由题意知方程仅有一实根,
由得
(
),
令,
,
时,
;
时,
;
时,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
∴,
所以要使仅有一个零点,则
.
方法3:函数有且只有一个零点即为直线
与曲线
相切,设切点为
,
由得
,∴
,∴
,
所以实数的值为1.
(2)由(1)知,即
当且仅当
时取等号,
∵,令
得,
,
,
即.

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