题目内容
【题目】已知函数
.
(1)若函数
有且只有一个零点，求实数
的值；
(2)证明：当
时， 
.
【答案】（1）1；（2）见解析．
【解析】试题分析：
(1)讨论函数的单调性可得满足题意时
，解得
.
(2)结合(1)的结论不妨设
，结合函数的性质即可证得题中的不等式.
试题解析：
(1)方法1： 
， 
，
时， 
； 
时， 
； 
时， 
；
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，∵
有且只有一个零点，
故
，∴
.
方法2：由题意知方程
仅有一实根，
由
得
(
)，
令
， 
，
时， 
； 
时， 
； 
时， 
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
，
所以要使
仅有一个零点，则
.
方法3：函数
有且只有一个零点即为直线
与曲线
相切，设切点为
，
由
得
，∴
，∴
，
所以实数
的值为1.
(2)由(1)知
，即
当且仅当
时取等号，
∵
，令
得， 
，
，
即
.
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