题目内容
【题目】已知函数的图象上有一点列
,点
在
轴上的射影是
,且
(
且
),
.
(1)求证:是等比数列,并求出数列
的通项公式;
(2)对任意的正整数,当
时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
(3)设四边形的面积是
,求证:
.
【答案】(1),
;(2)
;(3) 见解析;
【解析】
试题(1)利用等比数列定义证明;(2) 不等式恒成立,即求
的最大值,利用单调性,求出最值,进而转化为
,对任意
恒成立问题;(3)利用裂项相消法化简不等式的左侧即可.
试题解析:
(1)解:由(
且
)得
(
且
)
∵,∴
,∴
,(
且
)
∴是首项为3,公比为3的等比数列.
∴.
∴,
.
(2)∵,
∵,
,又
,
∴故数列
单调递减,(此处也可作差
证明数列
单调递减)
∴当时,
取得最大值为
.
要使对任意的正整数,当
时,不等式
恒成立,
则须使,即
,对任意
恒成立,
∴,解得
或
,
∴实数的取值范围为
.
(3),而
,
∴四边形的面积为
,
∴故.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2017年被称为”新高考元年”,随着上海、浙江两地顺利实施“语数外+3”新高考方案,新一轮的高考改革还将继续在全国推进.辽宁地区也将于2020年开启新高考模式,今年秋季入学的高一新生将面临从物理、化学、生物、政治、历史、地理等6科中任选三科(共20种选法)作为自已将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”.某地区为了顺利迎接新高考改革,在某学校理科班的200名学生中进行了“学生模找拟选科数据”调查,每个学生只能从表格中的20种课程组合选择一种学习.模拟选课数据统计如下表 :
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
组合学科 | 物化生 | 物化政 | 物化历 | 物化地 | 物生政 | 物生历 | 物生地 |
人数 | 20人 | 5人 | 10人 | 10人 | 10人 | 15人 | 10人 |
序号 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
组合学科 | 物证历 | 物政地 | 物历地 | 化生政 | 化生历 | 化生地 | 化政历 |
人数 | 5人 | 0人 | 5人 | … | 40人 | … | … |
序号 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
组合学科 | 化政地 | 化历地 | 生政历 | 生政地 | 生历地 | 政历地 | 总计 |
人数 | … | … | … | … | … | … | 200人 |
为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.
(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2天要学习生物的概率;
(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,记这3人中要学习生物的人数为,要学习政治的人数为
,设随机变量
,求随机变量
的分布列和数学期望.