题目内容
【题目】已知数列
的前n项和为
，且
.
（1）求出数列的通项公式；
（2）记
，求数列
的前n项和
.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）运用数列的递推式：
时，
，当
时，
，结合等比数列的通项公式，可得所求；
（2）求得
，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
（1）
（n∈N*），
可得n＝1时，S1+1＝2a1，
即a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，
Sn+n＝2an，Sn﹣1+n﹣1＝2an﹣1，
相减可得an+1＝2an﹣2an﹣1，
可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），
则数列{an+1}为首项为2，公比为2的等比数列，
可得an+1＝2n，即an＝2n﹣1；
（2）
前n项和为Tn＝
①
2Tn＝
②
两式相减可得﹣Tn＝2+2(22+…+2n)﹣
=
化简可得
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