题目内容
【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA=SB=SC=SD,点E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,点P是MN上的一点.
(1)证明:EP∥平面SBD;
(2)求四棱锥S﹣ABCD的表面积.
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】
(1)根据已知条件可证平面EMN∥平面SBD,即可证结论;
(2)四棱锥的各侧面为全等的等腰三角形,只需求出底边的高,求出侧面积,即可求出全面积.
(1)证明:连接BD,EM,EN,
∵E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,∴EM∥BD,MN∥SD,
∵BD平面SBD,EM平面SBD,∴EM∥平面SBD,
∵SD平面SBD,MN平面SBD,∴MN∥平面SBD,
又EM平面EMN,MN平面EMN,MN∩EM=M,
∴平面EMN∥平面SBD,而EP平面EMN,
则EP∥平面SBD;
(2)解:在四棱锥S﹣ABCD中,由底面ABCD是边长为2的正方形,
SA=SB=SC=SD,可知四棱锥S﹣ABCD是正四棱锥,
又E为BC的中点,连接SE,
则SE为四棱锥的斜高,可得,
∴四棱锥S﹣ABCD的表面积S.
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