题目内容
【题目】如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(Ⅰ)求证:EG∥平面ADF;
(Ⅱ)求二面角OEFC的正弦值;
(Ⅲ)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】
试题(Ⅰ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出平面的法向量,利用法向量与直线方向向量垂直进行论证;(Ⅱ)利用空间向量求二面角,关键是求出平面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值;(Ⅲ)利用空间向量求线面角,关键是求出平面的法向量,再利用向量数量积求出向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.
试题解析:依题意,,如图,以
为点,分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得
,
.
(Ⅰ)证明:依题意,.
设为平面
的法向量,则
,即
.
不妨设,可得
,又
,可得
,
又因为直线,所以
.
(Ⅱ)解:易证,为平面
的一个法向量.
依题意,.
设为平面
的法向量,则
,即
.
不妨设,可得
.
因此有,于是
,
所以,二面角的正弦值为
.
(Ⅲ)解:由,得
.
因为,所以
,进而有
,从而
,因此
.
所以,直线和平面
所成角的正弦值为
.
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