题目内容
【题目】如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面
平面ABC，
，
，
．
若点M是线段BF的中点，证明：
平面AMC；
求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）连接
，
. .由四边形
为菱形，可证
.由平面
平面
，可证
平面.即可证明
平面
；
2）设线段
的中点为
，连接
.易证
平面.以
为坐标原点，
，
，所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面
，平面
的法向量
，
.。利用空间向量夹角公式可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
试题解析：
（1）连接，∵四边形为菱形，且
，
∴
为等边三角形.
∵
为
的中点，∴
.
∵
，
，又是
的中点，
∴.
∵平面
平面
，平面
平面，
平面，
∴平面.
又
平面，∴
.
由，，
，
∴平面.
（2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则
，
，
，
，
.
∴
，
，
，
.
设平面，平面的法向量分别为，.
由
.
解得
.
取
，∴
.
又由
解得
.
取
，∴
.
∵
.
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
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