题目内容

已知其中.(1)求函数的单调区间;(2)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;
(3)当时,设函数在区间上的最大值为最小值为,记,求函数在区间上的最小值.
(1)增区间:;减区间:;(2) ;(3).

试题分析:
(Ⅰ)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),又a>0,
∴当x<-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当-1<x<a时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>a时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)的单调增区间为:(-∞,-1),(a,+∞);单调减区间为:(-1,a).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在(-2,0)内恰有两个零点当且仅当,解得
所以a的取值范围是
(Ⅲ)a=1时,,由(Ⅰ)知f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.
(1)当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减,因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)="-" ,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)="-" ,g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)="-" -(-)=
(2)当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).又由f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-,从而M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-,所以g(t)=M(t)-m(t)=
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为
点评:本题考查了应用导数研究函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题,同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想.
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