题目内容

(本小题满分12分)
设函数,其中表示不超过的最大整数,如.
 (1)求的值;
(2)若在区间上存在x,使得成立,求实数k的取值范围;
(3)求函数的值域.
(1);(2);(3)

试题分析:(1)因为,所以 ------2分
(2)因为,所以,          -------------------3分
.
求导得,当时,显然有,
所以在区间上递增,                -------------------4分
即可得在区间上的值域为,
在区间上存在x,使得成立,所以. ---------------6分
(3)由于的表达式关于x对称,且x>0,不妨设x³1.
x=1时,=1,则;           ----------------------7分
x>1时,设x= n+nÎN*,0£<1.
则[x]= n,所以.   -----------------8分

在[1,+¥)上是增函数,又
,
时,
时,                  … 10分
时,的值域为I1I2∪…∪In∪…
,
.
,
\当n³2时,a2= a3< a4<…< an<…
bn单调递减,\ b2> b3>…> bn>…
\[ a2b2)= I2I3I4In…       ----------------------11分

\ I1I2∪…∪In∪… = I1I2=
综上所述,的值域为. ----------------------12分
点评:我们要注意恒成立问题和存在性问题的区别。恒成立问题:通常采用变量分离法解决恒成立问题, 思路1:上恒成立;思路2: 上恒成立;存在性问题:思路1:存在使成立;思路2: 存在使成立
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