Question

14．如图点O在△ABC外部（O，A在直线BC的异侧），△ABC与△OBC的面积之比为1：3；记$\overrightarrow{AO}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+λ₂$\overrightarrow{AC}$，则λ₁²+λ₂²的最小值为（　　）

• A． 16
• B． $\frac{16}{9}$
• C． 8
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 设AO和BC的交点为P，推出$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overline{AC}$，利用三角形的面积推出：$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AO}$，求出λ₁+λ₂=4，利用基本不等式求解最值．

解答 解：设AO和BC的交点为P，则$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overline{AC}$，
又$\overrightarrow{AO}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+λ₂$\overrightarrow{AC}$，
根据题意，△ABC与△OBC的面积之比为1：3；
$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AO}$，
∴t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overline{AC}$=$\frac{1}{4}$λ₁$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$λ₂$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{1}{4}{λ}_{1}}\\{1-t=\frac{1}{4}{λ}_{2}}\end{array}\right.$，
∴λ₁+λ₂=4，则λ₁²+λ₂²≥$\frac{（{λ}_{1}+{λ}_{2}）^{2}}{2}$=8．当且仅当λ₁=λ₂=2时取等号．
 故选：C．

点评 本题考查向量在几何中的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．