题目内容
4.已知过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l与双曲线交于A,B两点.且|AB|=4,则这样的直线有( )A. | 1条 | B. | 2条 | C. | 3条 | D. | 4条 |
分析 左焦点为(-2,0),当AB的斜率不存在时,经检验不满足条件,当AB的斜率存在时,判断满足条件的斜率存在的直线共有4条.
解答 解:两个顶点的距离为:$2\sqrt{2}$.
左焦点为(-2,0),当AB的斜率不存在时,直线AB方程为 x=-2,
代入双曲线x2-y2=2的方程可得y=±$\sqrt{2}$,即A,B两点的纵坐标分别为$\sqrt{2}$和-$\sqrt{2}$,不满足|AB|=4.
当AB的斜率存在时,直线与左支的交点的距离为4时有2条,与支与右支个一个交点,距离为4,也有2条;
综上,所有满足条件的直线共有4条,
故选:D.
点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,求出满足条件的直线的斜率,是解题的关键和难点.
练习册系列答案
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14.如图点O在△ABC外部(O,A在直线BC的异侧),△ABC与△OBC的面积之比为1:3;记$\overrightarrow{AO}$=λ1$\overrightarrow{AB}$+λ2$\overrightarrow{AC}$,则λ12+λ22的最小值为( )
A. | 16 | B. | $\frac{16}{9}$ | C. | 8 | D. | $\frac{8}{9}$ |
13.设点M(-1,$\sqrt{3}$)是抛物线y2=2px(p>0)准线上-点,过该抛物线焦点F的直线过A、B两点,若 $\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FA}$=0,则△MAB的面积为 ( )
A. | 2$\sqrt{3}$ | B. | $\frac{5}{2}$$\sqrt{6}$ | C. | 3$\sqrt{6}$ | D. | $\frac{7\sqrt{7}}{2}$ |