题目内容

4.已知过双曲线x2-y2=2的左焦点作直线l与双曲线交于A,B两点.且|AB|=4,则这样的直线有(  )
A.1条B.2条C.3条D.4条

分析 左焦点为(-2,0),当AB的斜率不存在时,经检验不满足条件,当AB的斜率存在时,判断满足条件的斜率存在的直线共有4条.

解答 解:两个顶点的距离为:$2\sqrt{2}$.
左焦点为(-2,0),当AB的斜率不存在时,直线AB方程为 x=-2,
代入双曲线x2-y2=2的方程可得y=±$\sqrt{2}$,即A,B两点的纵坐标分别为$\sqrt{2}$和-$\sqrt{2}$,不满足|AB|=4.
当AB的斜率存在时,直线与左支的交点的距离为4时有2条,与支与右支个一个交点,距离为4,也有2条;
综上,所有满足条件的直线共有4条,
故选:D.

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,求出满足条件的直线的斜率,是解题的关键和难点.

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