Question

5．设常数a∈R，集合A={x|x²-（a+1）x+a≥0}，B={x|x≥a-1}，若A∪B=R，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，2]
• C． （2，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 解方程x²-ax-x+a=0得，x=a，或1，所以要求集合A需讨论a和1的关系：a＜1时，A={x|x≥1，或x≤a}，此时A∪B=R；a=1时，A=R，满足A∪B=R；a＞1时，A={x|x≥a，或x≤1}，要使A∪B=R，则0＜a-1≤1，所以1＜a≤2，对以上几种情况求得的a的取值范围求并集即可．

解答 解：解x²-（a+1）x+a=0得，x=a，或1；
①若a＜1，则A={x|x≥1，或x≤a}，B={x|x≥a-1}；
∵a-1＜a，则A∪B=R；
②若a=1，则A=R，满足A∪B=R；
③若a＞1，则A={x|x≥a，或x≤1}，要使A∪B=R，则：a-1≤1，∴1＜a≤2；
∴综上得a≤2，即实数a的取值范围为（-∞，2]．
故选：B．

点评 考查解一元二次方程，解一元二次不等式，以及利用数轴解决集合问题的方法．