题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,
是边长为
的正方形.且
,点
是
的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的大小.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)证明出平面
,由直线与平面垂直的定义可得出
;
(2)解法一:以、
、
为
、
、
轴建立空间直角坐标系
,由题意得出平面
与平面
的一个法向量分别为
、
,然后利用空间向量法计算出平面
与平面
所成的锐二面角;
解法二:过引直线
,使得
,可知
为平面
与平面
所成二面角的棱,并证明出
,
,由二面角的定义得出
为平面
与平面
所成的锐二面角,然后在
计算出该角即可.
(1)由题意,底面是正方形,
.
底面
,
平面
,
.
,
平面
.
平面
,
.
又,点
是
的中点,
,
,
平面
.
平面
,
;
(2)法—:由题知、
、
两两垂直,以
、
、
为
、
、
轴建立空间直角坐标系
.
则,
,则
,
,
平面
,则
是平面
的一个法向量,
,
由(1)知平面
,
是平面
的一个法向量,且
,
∴,
因此,平面与平面
所成锐二面角的大小等于
;
法二:过引直线
,使得
,则
,
平面
,
平面
,
就是平面
与平面
所成二面角的棱.
由条件知,,
,已知
,则
平面
.
由作法知,则
平面
,所以
,
,
就是平面
与平面
所成锐二面角的平面角.
在中,
,
平面
与平面
所成锐二面角的大小等于
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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