题目内容
【题目】在四棱锥中,
平面
,底面
为直角梯形,
,
,
,且
为线段
上的一动点.
(Ⅰ)若为线段
的中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)当直线与平面
所成角小于
,求
长度的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析:(1)取PA的中点F,连结EF,DF,证明四边形EFDC是平行四边形得出CE∥DF,故而CE∥平面PAD;
(2)证明BC⊥平面PAC,可知∠PCE为CE与平面PAC所成的角,利用余弦定理得出∠BPC,利用勾股定理得出PE的最大值即可得出PE的范围.
试题解析:
解:(Ⅰ)取的中点
,连接
,∵
为
的中点.
∴,
∴四边形是平行四边形,∴
,又
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)方法一:∵,∴
,又
,∴
,∴
,又
,∴
平面
∴与平面
所成角就是
,∴
.
∵,∴
,∴
.
∵,∴
.
方法二:以为坐标原点,以直线
为
轴,直线
为
轴,直线
为
轴,
则,取线段
中点
,则
.
易得,所以
为平面
的一个法向量.
可求得.
设,
,
,
设与平面
所成的角
,
所以,
化简得,易得
,所以
.
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