Question

【题目】设函数，函数．

（1）求函数的值域；

（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：

（1）根据和三种情况分别求出的取值范围，最后可得函数的值域为。（2）由（1）知，函数的值域。由函数上单调递增，可得函数的值域，“对于任意的，总存在，使得成立”等价于，并由此得到，解得即为所求。

试题解析：

（1）①当时， ，则函数在（0,1）上单调递增，在上单调递减，所以。

②当时， ；

③当时， ，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以。

综上可得。

所以函数的值域为。

（2）由（1）知，函数的值域

又函数上单调递增，

∴，即，

∴函数的值域，

由题意得“对于任意的，总存在，使得成立”等价于，

∴，

解得．

∴实数的取值范围为.