题目内容
【题目】已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当且时,求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)求得,然后分、、三种情况讨论,分析导数的符号变化,可得出函数的单调递增区间和递减区间;
(2)将所证不等式变形为,设,利用导数分析出函数在区间上单调递增,由可证得结论.
(1)由题意,得.
①若,令,得;令,得.
故函数在上单调递减,在上单调递增;
②若,令,得;令,得.
故函数在上单调递增,在上单调递减;
③若,则是常值函数,不存在单调性.
综上所述,当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,函数不存在单调性;
(2)当时,,则即为.
不等式两边同时除以,得,得.
记函数,则.
设.
当时,,所以函数在上单调递增.
所以当时,.
所以,所以函数在上单调递增.
所以,即.
故得证.
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