Question

【题目】已知函数，.

（1）存在，对任意，有不等式成立，求实数的取值范围；

（2）如果存在、，使得成立，求满足条件的最大整数；

（3）对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意可得，利用导数求出函数在区间上的最小值，以及利用指数函数的单调性求出函数在区间上的最小值，即可得出关于实数的不等式，解出即可；

（2）由题意可得，利用导数求出函数在区间上的最大值和最小值，即可求得满足条件的最大整数的值；

（3）由题意可知，函数在区间上的值域为函数在区间上值域的子集，分别求出这两个函数在区间上的值域，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.

（1）存在，对任意，有不等式成立，则.

，则对任意的恒成立，

所以，函数在区间上单调递增，所以，.

函数在区间上的单调递减，所以，.

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是；

（2）存在、，使得成立，则，

即，

由（1）可知，函数在区间上单调递增，则，，

，满足条件的最大整数的值为；

（3）对任意，存在，使得成立，

则函数在区间上的值域为函数在区间上值域的子集，

由（2）可知，函数在区间上的值域为，

函数在区间上单调递减，

所以，函数在区间上的值域为，

由题意可得，

则，解得.

因此，实数的取值范围是.