题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若函数为偶函数,求实数
的值;
(2)若,
,且函数
在
上是单调函数,求实数
的值;
(3)若,若当
时,总有
,使得
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)直接利用偶函数的定义解得m;
(2)由最高点的坐标,求得,再利用单调性得
,求得
的值.
(3)设函数的值域为
,
的值域为
,由题意和子集的定义,得
,得到不等式
恒成立,两边分别分离参数m,得到m的范围.
解:(1)设,则
由于是偶函数,所以对任意
,
成立.
即 恒成立.
即 恒成立,
所以 ,解得
.
所以所求实数的值是
.
(2)由,
得,即
当时,
,
因为在区间
的单调递增,所以
,再由题设得
所以.
(3)设函数在
上的值域为
,
在
上的值域为
,
由题意和子集的定义,得.
当时,
,
.
所以当时,不等式
恒成立,
由恒成立,得
,
由恒成立,得
,
综上,实数的取值范围为
.

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