Question

【题目】设函数， ．

（1）当时，求函数的极小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）极小值2；（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）代入，求得，得到和的解集，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值；

（Ⅱ）由题意得，令，得，设，求得，得到的单调性，得到的最大值，分类讨论，即可求解零点的个数；

（Ⅲ）由题意原命题等价于恒成立，设，进而转化为在上单调递减，利用导数，即可求得实数的取值范围．

试题解析：

（1）因为，所以当时， ， 在上单调递减；当时， ， 在上单调递增；

所以当时， 取得极小值.

（2） ，

令，得．

设，则 ．

所以当时， ， 在上单调递增；

当时， ， 在上单调递减；

所以的最大值为，又，可知：

①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；

③当时，函数有2个零.

（3）原命题等价于恒成立． .

设 ，

则等价于在上单调递减．

即在上恒成立，

所以 恒成立，所以．

即的取值范围是．