Question

12．设F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为2$\sqrt{3}$．则椭圆C的焦距（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通过设直线l的方程y=$\sqrt{3}$（x-c），利用点到直线的距离公式计算即得结论．

解答 解：依题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），
直线l的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-c），
即：$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}c$=0，
∵F₁到直线l的距离为2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|-\sqrt{3}c-0-\sqrt{3}c|}{\sqrt{3+1}}$=2$\sqrt{3}$，
解得：c=2，
∴椭圆C的焦距为2c=4，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．
注：本题还可以在Rt△F₁F₂C中利用锐角三角函数的定义来计算．