Question

4．等比数列{a_n}中，a₁，a₅是关于x方程x²-bx+c=0的两个根，其中点（c，b）在直线y=x+1上，且c=$\int_0^3$t²dt，则a₃的值是3．

Answer 1

分析 计算定积分可得c值，代点可得b值，进而由韦达定理和等比数列的性质可得．

解答 解：计算定积分可得$c=\int_0^3{{t^2}dt}=\frac{1}{3}{t^3}|_0^3=9$，
再由点（c，b）在直线y=x+1可得b=10，
∴原方程可化为x²-10x+9=0，
由韦达定理和等比数列的性质可得${a_3}^2={a_1}{a_5}=9$，
∵a₁a₅＞0，a₁+a₅=10＞0，
∴a₁，a₅＞0，从而a₃＞0，∴a₃=3．
故答案为：3．

点评 本题考查等比数列的性质，涉及定积分的计算，属中档题和易错题．