Question

【题目】已知抛物线，直线与抛物线交于两点.

（Ⅰ）若，求以为直径的圆被轴所截得的弦长；

（Ⅱ）分别过点作抛物线的切线，两条切线交于点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（I）4；

（II）4

【解析】

设，，联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理，

（I）运用弦长公式可得，以及直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值；

（II）对求导，求得切线的斜率和方程，联立方程求得交点E的坐标，以及E到直线AB的距离，弦长，再由三角形的面积公式，计算可得所求最小值．

设，

由联立得：，

由韦达定理得：，，

（I）当时，，

∴，

，

设的中点为，则，

∴以为直径的圆被轴所截得的弦长为

；

（II）对求导，得，即，

直线的方程为，

即，

同理，直线的方程为，

设，联立与的方程，

解得即，

点到直线的距离，

，

所以的面积

，

当且仅当时取等号，

综上，面积的最小值为4.