题目内容
【题目】设抛物线C：
（
）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于
，
两点，且
.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若
（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l的倾斜角；
（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线
，
，
斜率分别为
，
，
，求证：当为定值时，
也为定值.
【答案】(1) 
；(2) 
或
；
(3) 见解析
【解析】
(1)设出直线的方程与抛物线方程联立,消去
得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系即可得出；
(2)根据向量和(1)的结论可用
表示
点的坐标代入抛物线的方程即可得出直线的斜率和倾斜角；
(3)利用向量计算公式和(1)中的根与系数的关系即可得出.
(1)由题知
， 直线方程为
化简得：
，
(2) 
，设
点E在抛物线C上，
，
或
(3)M是抛物线C的准线上的一点，设
，
,
,
当
为定值时，
也为定值.
【题目】棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300
的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
纤维长度 |
|
|
|
|
|
甲地（根数） | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地（根数） | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
（1）由以上统计数据，填写下面
列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
甲地 | 乙地 | 总计 | |
长纤维 | |||
短纤维 | |||
总计 |
附：（1）
；
（2）临界值表；
| 0．10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为
，求
的分布列及数学期望.
【题目】为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在
市与
市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为
，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为
.
（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：
A市居民 | B市居民 | |
喜欢杨树 | 300 | 200 |
喜欢木棉树 | 250 | 250 |
是否有
的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；
（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有
个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；
（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为
，求证：
.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
