Question

19．如图，ABCD是矩形，其中AB=2AD=4，E为DC上一点，使得D点射影落在AE上．

（1）若E为CD中点，求证：AD⊥平面BDE；
（2）设∠DAE=θ，当DB最短时，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）由题设可知AD⊥DE，取AE中点O，连接OD、BE，由AD=DE=2，知OD⊥AE，由二面角D-AE-B为直二面角，知OD⊥平面ABCE由此能够证明AD⊥平面BDE．
（2）由BE⊥DE，设DE=x，则CE=4-x，从而DB=$\sqrt{（4-x）^{2}+4+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-8x+20}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+12}$$≥2\sqrt{3}$，当DE=2时，DB最短，由此能求出θ的值．

解答 （1）证明：∵ABCD是矩形，AB=2AD=4，E为DC上一点，使得D点射影落在AE上．
∴AD⊥DE，取AE中点O，
连接OD、BE，∵AD=DE=2，∴OD⊥AE，
又∵D点射影落在AE上，即二面角D-AE-B为直二面角，
∴OD⊥平面ABCE，
∴OD⊥BE，AE=BE=2$\sqrt{2}$，AB=4，
∴AB²=AE²+BE²，AE⊥BE，OD∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD，BE∩DE=E，
∴AD⊥平面BDE．
（2）解：由（1）得BE⊥DE，∴DB=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$，
设DE=x，则CE=4-x，
∴DB=$\sqrt{（4-x）^{2}+4+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-8x+20}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+12}$$≥2\sqrt{3}$，
当DE=2时，DB最短，此时DB=2$\sqrt{3}$，
在△ADE中，∵AD=DE=2，AD⊥DE，∠DAE=θ，
∴θ=45°．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查角的求示，是中档题，解题时要认真审题，注意合理地把空间问题转化为平面问题，合理地运用配方法进行解题．