Question

7．设△ABC为正三角形，BC、AC上分别有一点D、E，且BD=$\frac{1}{2}$CD，CE=$\frac{1}{2}$AE，BE、AD相交于P，求证：P、D、C、E四点共圆，且AP⊥CP．

Answer 1

分析 取CD的中点F，连结DE、EF，先证明△ABD≌△BCE，从而得到∠APE=∠ECD，由此能证明P、D、C、E四点共圆，且AP⊥CP．

解答 解：取CD的中点F，连结DE、EF，
∵BD=CE，∠ABD=60°=∠BCE，AB=BC，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠APE=∠PBA+∠PAB=∠PBA+∠CBE=∠ABC=60°=∠ECD，
∴P、D、C、E四点共圆，
∴∠CPD=∠CED=90°，
∴AP⊥CP．

点评 本题考查四点共圆的证明，考查两直线垂直的证明，是基础题，解题时要注意三角形全等的判定定理和性质定理的合理运用．