Question

14．（1）解不等式：${log_a}（1-\frac{1}{1+x}）＞0$
（2）已知函数$y={log_a}（{a^x}-a+2）$（a＞0，且a≠1）的值域是R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数的定义域、性质、运算法则，根据0＜a＜1和a＞1两种情况进行分类，能求出不等式${log_a}（1-\frac{1}{1+x}）＞0$的解集．
（2）要使函数$y={log_a}（{a^x}-a+2）$（a＞0，且a≠1）的值域是R，就要使a^x-a+2取到所有正数，由此利用指数函数和对数函数的性质和运算法则能求出结果．

解答 解：（1）∵${log_a}（1-\frac{1}{1+x}）＞0$，
∴当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{1+x≠0}\\{1-\frac{1}{1+x}＞0}\\{1-\frac{1}{1+x}＜1}\end{array}\right.$，解得x＞0；
当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{1+x≠0}\\{1-\frac{1}{1+x}＞0}\\{1-\frac{1}{1+x}＞1}\end{array}\right.$，解得x＜-1．
∴当0＜a＜1时，不等式${log_a}（1-\frac{1}{1+x}）＞0$的解集为{x|x＞0}；
当a＞1时，不等式${log_a}（1-\frac{1}{1+x}）＞0$的解集为{x|x＜-1}．
（2）要使函数$y={log_a}（{a^x}-a+2）$（a＞0，且a≠1）的值域是R，就要使a^x-a+2取到所有正数，
∵a^x＞0，∴要使a^x-a+2取到所有正数，必有-a+2≤0
解得a≥2．
∴a的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查不等式的解法和实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．