Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+m\\-（m+4）x+{m^2}-m-3\end{array}$$\begin{array}{l}，x≥0\\;x＜0\end{array}$，若对任意的实数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-4，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-1]∪[3，+∞）
• D． （-4，-1]∪[3，+∞）

Answer 1

分析 由对任意的实数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，可得f（x）在R上递减，由分段函数可得$\left\{\begin{array}{l}{-（m+4）＜0}\\{m≤{m}^{2}-m-3}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求m的范围．

解答 解：由对任意的实数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，可得
f（x）在R上递减，
由函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+m\\-（m+4）x+{m^2}-m-3\end{array}$$\begin{array}{l}，x≥0\\;x＜0\end{array}$，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-（m+4）＜0}\\{m≤{m}^{2}-m-3}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{m＞-4}\\{m≥3或m≤-1}\end{array}\right.$，
解得m≥3或-4＜m≤-1．
故选：D．

点评 本题考查函数单调性的性质及其应用，理解“对任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立?函数f（x）在定义域内单调递减”是关键，也是难点所在，考查解不等式组的能力，属于中档题．