Question

5．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为单位向量，其中$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为2，则$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为2，得$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{2\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}}{1}=2|\overrightarrow{{e}_{1}}|•|\overrightarrow{{e}_{2}}|cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$+1=2，得出cos＜$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$＞=$\frac{1}{2}$，则答案可求．

解答 解：由题意可得：
$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）•\overrightarrow{{e}_{2}}}{|\overrightarrow{{e}_{2}}|}$=$\frac{2\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}}{1}=2|\overrightarrow{{e}_{1}}|•|\overrightarrow{{e}_{2}}|cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$+1=2，
解得cos$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=$\frac{1}{2}$，
∵$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$∈[0，π]，
∴$＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$=$\frac{π}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查向量的基本运算，考查单位向量、向量的投影等概念，解题的关键是对向量投影的理解，是中档题．