Question

【题目】函数 是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且 ．
（1）确定函数的解析式；
（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．

又f（ ）= ，所以 = ，解得a=1．

所以f（x）=

（2）证明：任取﹣1＜x1＜x2＜1，

则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数

（3）解：f（t﹣1）+f（t）＜0可化为f（t﹣1）＜﹣f（t）．

又f（x）为奇函数，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），

f（x）为（﹣1，1）上的增函数，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；

联立①②③解得，0＜t＜ ．

所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集为 ．

【解析】（1）根据奇函数性质有f（0）=0，可求出b，由 可求得a值．（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．