题目内容
【题目】已知点在椭圆
内,过
的直线
与椭圆
相交于A,B两点,且点
是线段AB的中点,O为坐标原点.
(Ⅰ)是否存在实数t,使直线和直线OP的倾斜角互补?若存在,求出
的值,若不存在,试说明理由;
(Ⅱ)求面积S的最大值.
【答案】( Ⅰ)存在;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)设出直线方程为
,代入椭圆方程得关于
的一元二次方程,设
,则可得
,利用
可建立
的关系,即
,上面的一元二次方程有两个不等实根,即判别式
,由此可得
的范围.注意特殊情形的讨论,最后由直线
和直线
的倾斜角互补,即斜率和为0可求得
,若不能求出
,说明不存在);(Ⅱ)利用(Ⅰ)得直线
方程为
,关键是由表示出
,
,这是
的函数,可函数知识易求最值.
试题解析:
(Ⅰ)存在.
由题意直线的斜率必存在,设直线
的方程
是
代入得:
.(1)
设,
,则
,即
,
解得:,
此时方程(1)即
由解得,
,
(或由解得,
)
当时,显然不符合题意;
当时,设直线
的斜率为
,只需
,
即,解得
,均符合题意.
(Ⅱ)由(1)知的方程是
,
所以,
,
因为,所以当
时,
.
点晴:解析几何中存在性问题的求解方法:
1.通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为:假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于特定参数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在,否则(点、直线、曲线或参数)不存在.
2.反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.
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