题目内容

18.若函数f(x)是定义R上的增函数,切满足f(1)=0,f(a)+f(b)=f(a+b)-1,那么f(2)=1,关于x的不等式f(x2-1)+f(1-x)>0的解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).

分析 先利用赋值法,令a=b=1,则f(1)+f(1)=f(2)-1,求出f(2)=1,f(x2-1)+f(1-x)>0等价于f(x2-x)>f(2),根据函数的单调性,得到x的不等式,解得即可.

解答 解:∵f(1)=0,f(a)+f(b)=f(a+b)-1
令a=b=1,则f(1)+f(1)=f(2)-1,
∴f(2)=1,
∴f(x2-1)+f(1-x)=f(x2-1+1-x)-1=f(x2-x)-1,
∵f(x2-1)+f(1-x)>0,
∴f(x2-x)-1>0,
∴f(x2-x)>f(2),
∵函数f(x)是定义R上的增函数,
∴x2-x>2,
解得x>2或x<-1,
故关于x的不等式f(x2-1)+f(1-x)>0的解集是(-∞,-1)∪(2,+∞),
故答案为:(-∞,-1)∪(2,+∞).

点评 本题考查了抽象函数的问题,常采用数赋值法,根据函数的单调性得到不等式,解得即可,属于中档题.

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