题目内容
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,满足$4{cos^2}\frac{C}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$,$a+b=5,c=\sqrt{7}$.(1)求角C的大小;
(2)求△ABC的面积.
分析 (1)根据二倍角余弦公式的变形化简已知的式子,求出cosC的值,根据内角的范围求出角C;
(2)由题意和余弦定理列出方程,利用整体代换求出ab的值,代入三角形的面积公式求出△ABC的面积.
解答 解:(1)由 $4{cos^2}\frac{C}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$得,$2{cos^2}C-2cosC+\frac{1}{2}=0$…3′
解得,$cosC=\frac{1}{2}$…4′
又0<C<π,则$C=\frac{π}{3}$…5′
(2)∵$a+b=5,c=\sqrt{7}$,
∴由余弦定理得7=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab…7′
又∵a+b=5,∴ab=6…9′
∴△ABC的面积${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…10′
点评 本题考查余弦定理,三角形的面积公式,以及二倍角余弦公式的变形,属于中档题.
练习册系列答案
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