Question

3．在△ABC中，a、b、c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，A=120°，c＞b，a=$\sqrt{21}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，在AB边上一点M使BM=MC，求cos∠ACM．

Answer 1

分析 利用三角形面积公式列出关系式，把sinA与已知面积代入求出bc=4，再利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用完全平方公式变形求出b+c=5，联立即可求出b与c的值．在△ACM中，分别运用余弦定理，可得CM，
cos∠ACM．

解答 解：∵A=120°，c＞b，
a=$\sqrt{21}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，即bc=4①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即21=b²+c²+bc=（b+c）²-bc=（b+c）²-4，
整理得：（b+c）²=25，即b+c=5②，
联立①②解得：b=1，c=4．
设BM=CM=x，则AM=4-x，
在△ACM中，
由cosA=cos120°=$\frac{1+（4-x）^{2}-{x}^{2}}{2•1•（4-x）}$=-$\frac{1}{2}$，
解得x=$\frac{7}{3}$，4-x=$\frac{5}{3}$，
再由余弦定理，可得
cos∠ACM=$\frac{1+\frac{49}{9}-\frac{25}{9}}{2•1•\frac{7}{3}}$=$\frac{11}{14}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．