Question

18．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率e=$\sqrt{3}$，且b=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=0，求△PEF的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率e=$\sqrt{3}$，且b=$\sqrt{2}$，求出几何量，即可求双曲线C的方程；
（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q，$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p²+q²=|EF|²=12，由双曲线定义：|p-q|=2a两边平方，把p²+q²代入即可求得pq，从而求出△PEF的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率e=$\sqrt{3}$，且b=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，且b=$\sqrt{2}$，
∴a=1，c=$\sqrt{3}$
∴双曲线C的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q
由双曲线定义：|p-q|=2a=2
平方得：p²-2pq+q²=4
$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p²+q²=|EF|²=12
所以pq=4
即S=$\frac{1}{2}$|PE|•|PF|=2．

点评 本题主要考查了双曲线的方程与性质，考查双曲线的定义．考查学生的计算能力，属于中档题．